動(dòng)態(tài)電路中至少含有一個(gè)動(dòng)態(tài)元件，如果動(dòng)態(tài)元件儲(chǔ)存了一定數(shù)量的能量 ( 電場(chǎng)能量或磁場(chǎng)能量 ) ，即使換路后電路中沒(méi)有輸入激勵(lì) ( 獨(dú)立源 ) ，電路中也會(huì)產(chǎn)生電流。這體現(xiàn)了動(dòng)態(tài)元件通過(guò)耗能元件進(jìn)行電磁能量釋放的物理過(guò)程。電路在無(wú)輸入激勵(lì)情況下，僅由動(dòng)態(tài)元件原始儲(chǔ)能引起的響應(yīng)稱(chēng)為零輸入響應(yīng)。零輸入響應(yīng)可以是動(dòng)態(tài)電路中任意支路的電壓或電流。
圖1 零輸入響應(yīng)實(shí)例
如圖 1 所示電路，在 時(shí)， 。在開(kāi)關(guān)閉合后的初瞬，即 時(shí)，有 ，電感元件儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量為 。當(dāng)開(kāi)關(guān)閉合后， rl 串聯(lián)電路無(wú)激勵(lì)源作用，電感中的磁場(chǎng)能量將逐步釋放直至被電阻 r 消耗完畢為止。在此過(guò)程中出現(xiàn)的電感電流 、電阻電壓 和電感電壓 即為電路的零輸入響應(yīng)。
對(duì)一個(gè) n 階動(dòng)態(tài)電路，如果換路后電路中無(wú)輸入激勵(lì)，則其輸入 - 輸出方程將變?yōu)辇R次微分方程，具有如下形式：
( 1 )
其中， 為待求的輸出變量?？梢?jiàn)，動(dòng)態(tài)電路的零輸入響應(yīng)即齊次微分方程的解。
根據(jù)高等數(shù)學(xué)知識(shí)，求解 ( 4-6-1 ) 式 n 階齊次微分方程，可以先列出其特征方程：
( 2 )
設(shè)此特征方程的 n 個(gè)特征根分別為 ，且所有的根都互不相等，則 ( 1 ) 式的通解為
( 3 )
這就是 n 階動(dòng)態(tài)電路零輸入響應(yīng)的一般形式。式中 是由齊次微分方程式 ( 1 ) 的 n 個(gè)初始條件 決定的積分常數(shù)。
由式 ( 3 ) 可以看出，特征根 決定了動(dòng)態(tài)電路零輸入響應(yīng)的性質(zhì)。如果特征根都是負(fù)實(shí)根，則響應(yīng)隨時(shí)間的增長(zhǎng)而衰減，且特征根的絕對(duì)值越大，衰減越快；如果特征根中有復(fù)數(shù)根，則將出現(xiàn)振蕩情況。在物理上，特征根 取決于電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及電路中元件參數(shù)的取值情況。因此，特征根 又被稱(chēng)為電路零輸入相應(yīng)的固有頻率或自然頻率。
【 例1 】 求解例圖2 中所給電路的零輸入響應(yīng) 。 ，
， ， a ， v 。
例圖2 零輸入響應(yīng)計(jì)算實(shí)例
解：例圖2 中電路在無(wú)輸入激勵(lì)情況下的積分微分方程和微分方積分別為
( 4 )
( 5 )
特征方程為
可解得特征根為
，
該微分方程的通解為
確定常數(shù) 需要初始條件 、 。根據(jù)題設(shè)，易知：
， v
在 時(shí)刻，將 ， 代入 ( 4 ) 式，得
解得： a/s
利用兩個(gè)初始條件，可得
，
聯(lián)立求解可得： ，
故電路的零輸入響應(yīng)為